механической энергии. Превращения энергии
Поскольку движение и взаимодействие взаимосвязаны (взаимодействие определяет движение материальных объектов, а движение объектов, в свою очередь, влияет на их взаимодействие), то должна быть единая мера, характеризующая движение и взаимодействие материи.
Энергия и является единой скалярной количественной мерой различных форм движения и взаимодействия материи. Различным формам движения и взаимодействия соответствуют различные виды энергии: механическая, внутренняя, электромагнитная, ядерная и т.д. Простейшим видом энергии, соответствующим простейшей - механической - форме движения и взаимодействия материи, является механическая энергия.
Одним из наиболее важных законов всего естествознания является всеобщий закон сохранения энергии . Он утверждает, что энергия не возникает ниоткуда и не исчезает бесследно, а лишь переходит из одной формы в другую.
Закон сохранения механической энергии есть частный случай всеобщего закона сохранения энергии.
Полная механическая энергия материальной точки (частицы) и системы частиц складывается из двух частей. Первая составляющая энергии частицы обуславливается ее движением, называется кинетической энергией и вычисляется по формуле
где
m
- масса частицы,
- ее скорость.
Кинетическая энергия частицы изменяется, если при движении частицы на нее действует сила (силы), совершающая работу.
В
простейшем случае, когда сила
постоянна по величине и по направлению,
а траектория движения прямолинейна, то
работаA
,
совершаемая этой силой при перемещении
,
определяется по формуле
где
s
- пройденный путь, равный при прямолинейном
движении модулю перемещения
,
- скалярное произведение векторов
и
,
равное произведению модулей этих
векторов на косинус угла
между ними.
Работа
может быть положительной, если угол
острый (
90°),
отрицательной, если угол
тупой (90°
180°),
и может быть равна нулю если угол
прямой (
=90°).
Можно
доказать, что изменение кинетической
энергии
частицы при ее перемещении из точки 1 в
точку 2 равно сумме работ, совершенных
всеми силами, действующими на эту
частицу, при данном перемещении:
, (6.13)
где
- кинетическая энергия частицы в начальной
и в конечной точках,
- работа, совершенная силой
(i
=1,
2, ... n
)
при данном перемещении.
Кинетической
энергией системы
изN
частиц называется сумма кинетических
энергий всех частиц системы. Ее изменение
при любом изменении конфигурации
системы, то есть произвольном перемещении
частиц, равно суммарной работе
,
совершенной всеми силами, действующими
на частицы системы, при их перемещениях:
. (6.14)
Второй составляющей механической энергии является энергия взаимодействия, называемая потенциальной энергией. В механике понятие потенциальной энергии может быть введено не для любых взаимодействий, а лишь для определенного их класса.
Пусть
в каждой точке пространства, где может
находиться частица, на нее в результате
взаимодействия с другими телами действует
сила, зависящая только от координат x,
y, z
частицы и, возможно, от времени t
:
.
Тогда говорят, что частица находится в
силовом поле взаимодействия с другими
телами. Примеры: материальная точка,
движущаяся в гравитационном поле Земли;
электрон, движущийся в электростатическом
поле неподвижного заряженного тела. В
этих примерах сила, действующая на
частицу, в каждой точке пространства
от времени не зависит:
.
Такие поля называются стационарными.
Если
же, например, электрон будет находиться
в электрическом поле конденсатора,
напряжение между обкладками которого
изменяется, то в каждой точке пространства
сила будет зависеть и от времени:
.
Такое поле называется нестационарным.
Сила, действующая на частицу, называется консервативной, а соответствующее поле – полем консервативной силы, если работа, совершаемая этой силой при перемещении частицы по произвольному замкнутому контуру, будет равна нулю.
К консервативным силам и соответствующим полям относятся сила всемирного тяготения и, в частности, сила тяжести (гравитационное поле), сила Кулона (электростатическое поле), сила упругости (поле сил, действующих на тело, прикрепленное к некоторой точке упругой связью).
Примерами неконсервативных сил являются сила трения, сила сопротивления среды движению тела.
Только для взаимодействий, которым соответствуют консервативные силы, может быть введено понятие потенциальной энергии.
Под
потенциальной энергией
механической системы понимается
величина, убыль которой (разность
начального и конечного значений) при
произвольном изменении конфигурации
системы (изменении положения частиц в
пространстве) равна работе
,
совершаемой при этом всеми внутренними
консервативными силами, действующими
между частицами этой системы:
, (6.15)
где
- потенциальная энергия системы в
начальной и конечной конфигурации.
Заметим,
что убыль
равна с обратным знаком приращению
(изменению) 
потенциальной энергии и поэтому
соотношение (6.15) можно записать в виде
. (6.16)
Такое
определение потенциальной энергии
системы частиц позволяет находить ее
изменение при изменении конфигурации
системы, но не само значение потенциальной
энергии системы при заданной конфигурации.
Поэтому во всех конкретных случаях
уславливаются, при какой конфигурации
системы (нулевой конфигурации) ее
потенциальная энергия
принимается равной нулю (
).
Тогда потенциальная энергия системы
при любой ее конфигурации
,
а из (6.15) следует, что
, (6.17)
то
есть потенциальная энергия системы
частиц некоторой конфигурации равна
работе
,
совершаемой внутренними консервативными
силами при изменении конфигурации
системы от данной до нулевой.
Потенциальная
энергия тела, находящегося в однородном
поле силы тяжести вблизи поверхности
Земли, принимается равной нулю при
нахождении тела на поверхности Земли.
Тогда потенциальная энергия притяжения
к Земле тела, находящегося на высоте h
,
равна работе силы тяжести
,
совершаемой при перемещении тела с этой
высоты на поверхность Земли, то есть на
расстояниеh
по вертикали:
Потенциальная
энергия тела, прикрепленного к
фиксированной точке упругой связью
(пружиной), принимается равной нулю при
недеформированной связи. Тогда
потенциальная энергия упруго
деформированной (растянутой или сжатой
на величину
)
пружины с коэффициентом жесткостиk
равна
. (6.19)
Потенциальная
энергия гравитационного взаимодействия
материальных точек и электростатического
взаимодействия точечных зарядов
принимается равной нулю, если эти точки
(заряды) удалены на бесконечное расстояние
друг от друга. Поэтому энергия
гравитационного взаимодействия
материальных точек массами
и
,
находящихся на расстоянииr
друг от друга, равна работе силы всемирного
тяготения
,
совершенной при изменении расстоянияx
между точками от x=r
до
:
. (6.20)
Из (6.20) следует, что потенциальная энергия гравитационного взаимодействия материальных точек при указанном выборе нулевой конфигурации (бесконечном удалении) оказывается отрицательной при размещении точек на конечном расстоянии друг от друга. Это связано с тем, что сила всемирного тяготения есть сила притяжения, и ее работа при удалении точек друг от друга отрицательна. Отрицательность потенциальной энергии означает, что при переходе этой системы из произвольной конфигурации в нулевую (при удалении точек с конечного расстояния на бесконечное) ее потенциальная энергия увеличивается.
Аналогично, потенциальная энергия электростатического взаимодействия точечных зарядов в вакууме равна
(6.21)
и
отрицательна для притягивающихся
разноименных зарядов (знаки
и
различны) и положительна для отталкивающихся
одноименных зарядов (знаки
и
одинаковы).
Полной
механической энергией системы
(механической энергией системы)
называется сумма ее кинетической и
потенциальной энергий
. (6.22)
Из (6.22) следует, что изменение полной механической энергии складывается из изменения ее кинетической и потенциальной энергии
Подставим
в формулу (6.33) формулы (6.14) и (6.16). В формуле
(6.14) общую работу
всех сил, действующих на точки системы,
представим как сумму работы сил, внешних
по отношению к рассматриваемой системе,
и работы внутренних сил, которая, в свою
очередь, складывается из работы внутренних
консервативных и неконсервативных сил,
:
После подстановки получим, что
Для
замкнутой системы
0.
Если система к тому же консервативна,
то есть в ней действуют только внутренние
консервативные силы, то и
=0.
В этом случае уравнение (6.24) принимает
вид
,
а это означает, что
Уравнение (6.2) есть математическая запись закона сохранения механической энергии, который гласит: полная механическая энергия замкнутой консервативной системы постоянна, то есть не изменяется со временем.
Условие
0
выполняется, если в системе действуют
и неконсервативные силы, но их работа
равна нулю, как, например, при наличии
сил трения покоя. В этом случае для
замкнутой системы закон сохранения
механической энергии также применим.
Отметим,
что при
отдельные слагаемые механической
энергии: кинетическая и потенциальная
энергия, - не обязаны оставаться
постоянными. Они могут изменяться, что
сопровождается совершением работы
консервативными внутренними силами,
но изменения потенциальной и кинетической
энергии 
и 
равны по модулю и противоположны по
знаку. Например, за счет совершения
внутренними консервативными силами
работы над частицами системы ее
кинетическая энергия возрастет, но при
этом на равную величину уменьшится ее
потенциальная энергия.
Если же в системе совершают работу неконсервативные силы, то это обязательно сопровождается взаимными превращениями механической и иных видов энергии. Так, совершение работы неконсервативными силами трения скольжения или сопротивления среды обязательно сопровождается выделением тепла, то есть переходом части механической энергии во внутреннюю (тепловую) энергию. Неконсервативные силы, работа которых приводит к переходу механической энергии в тепловую, называются диссипативными, а сам процесс перехода механической энергии в тепловую - диссипацией механической энергии.
Есть множество неконсервативных сил, работа которых, напротив, ведет к увеличению механической энергии системы за счет иных видов энергии. Например, в результате химических реакций происходит взрыв снаряда; при этом осколки получают прибавку механической (кинетической) энергии за счет работы неконсервативной силы давления расширяющихся газов - продуктов взрыва. В этом случае посредством совершения работы неконсервативных сил произошел переход химической энергии в механическую. Схема взаимных превращений энергии при совершении работы консервативными и неконсервативными силами представлена на рисунке 6.3.
Таким образом, работа есть количественная мера превращения одних видов энергии в другие. Работа консервативных сил равна количеству потенциальной энергии, перешедшей в кинетическую или наоборот (общая механическая энергия при этом не изменяется), работа неконсервативных сил равна количеству механической энергии, перешедшей в другие виды энергии или наоборот.
Рисунок 6.3 - Схема превращений энергии.
Всеобщий закон сохранения энергии фактически есть закон неуничтожимости движения в природе, а закон сохранения механической энергии - закон неуничтожимости механического движения при определенных условиях. Изменение же механической энергии при невыполнении этих условий не означает уничтожения движения или его появления ниоткуда, а свидетельствует о превращении одних форм движения и взаимодействия материи в другие.
Обратим
внимание на отличие обозначений
бесконечно малых величин. Например, dx
обозначает бесконечно малое приращение
координаты,
- скорости,dE
–
энергии, а бесконечно малую работу
обозначают
.
Это отличие имеет глубокий смысл.
Координаты и скорость частицы, ее энергия
и многие другие физические величины
являются функциями состояния частицы
(системы частиц), то есть определяются
текущим состоянием частицы (системы
частиц) и не зависят от того, какими были
предшествующие состояния, и от того,
каким способом частица (система) пришла
в текущее состояние. Изменение такой
величины можно представить как разность
значений этой величины в конечном и
начальном состояниях. Бесконечно малое
изменение такой величины (функции
состояния) называется полным дифференциалом
и для величиныX
обозначается dX
.
Такие
же величины, как работа или количество
теплоты, характеризуют не состояние
системы, а способ, которым был реализован
переход из одного состояния системы в
другое. Например, говорить о наличии
работы у системы частиц в каком-то
заданном состоянии бессмысленно, но
можно говорить о работе, совершенной
силами, действующими на систему, при ее
переходе из одного состояния в другое.
Таким образом, не имеет смысла говорить
и о разности значений такой величины в
конечном и начальном состояниях.
Бесконечно малое количество величины
Y
,
не являющейся функцией состояния,
обозначается
.
Отличительным признаком функций состояния является то, что их изменения в процессах, в которых система, выйдя из исходного состояния, в него же и возвращается, равны нулю. Механическое состояние системы частиц задается их координатами и скоростями. Поэтому, если в результате некоторого процесса механическая система возвращается в исходное состояние, то координаты и скорости всех частиц системы принимают первоначальные значения. Механическая энергия, как величина, зависящая только от координат и скоростей частиц, также примет исходное значение, то есть не изменится. В то же время работа, совершенная силами, действующими на частицы, будет отлична от нуля, причем ее значение может быть разным в зависимости от вида траекторий, описанных частицами системы.
Закон сохранения механической энергии связывает между собой разные виды энергии, рассмотрим их подробнее. Выясним и возможности его практического применения.
Особенности физической системы
Математическая формулировка закона сохранения механической энергии связывает кинетическую и потенциальную энергию.
Суть закона заключается в том, что допускается превращение одной формы в иной вид, при этом суммарное значение остается неизменной величиной. В разных разделах физики есть свои формулировки данного закона. Например, в термодинамике выделяют первое начало, в классической механике используют закон сохранения, а в электродинамике расчеты проводят на основе теоремы Пойнтинга.
Фундаментальный смысл
Как определяется механическая энергия? Закон сохранения механической энергии объясняют теоремой Нетер. Она объясняет независимость закона относительно временных рамок, иных основополагающих принципов механики. Ньютоновская теория характеризуется использованием частного случая закона сохранения энергии.
Как можно качественно описать данный закон? Сумма потенциальной и кинетической форм в замкнутой системе сохраняется неизменной.
Если на систему не действуют иные силы, в таком случае не наблюдается ее исчезновения, а также появления. Как осуществлялось обоснование закона сохранения механической энергии? Лабораторная деятельность многих ученых основывалась на изучении перехода кинетической энергии в потенциальный вид. Например, при анализе состояния математического маятника удалось подтвердить неизменность суммарного значения двух видов.
Основы термодинамики
Как рассчитывается механическая энергия? Закон сохранения механической энергии можно применить к первому началу термодинамики. Рассматривается изменение внутренней энергии системы в процессе ее перехода из одного состояния в иное через сумму количества теплоты, передаваемого системе, и работы внешних сил.
Закон сохранения импульса и механической энергии поясняет сложность получения двигателя, работающего постоянно.
Изучение свойств жидкостей
Для гидродинамики идеальных жидкостей было выведено уравнение Бернулли. Суть его в постоянстве жидкости, имеющей однородную плотность.
Как изучалась механическая энергия? Закон сохранения механической энергии был определен экспериментальным путем. Гей-Люссак в начале 19 века пытался найти зависимость между расширением газа и его теплоемкостью. Ему удалось установить неизменность температуры в рассматриваемом процессе.
История появления закона
В 19 веке, после опытов М. Фарадея, была выявлена зависимость между разными видами материи. Именно эти исследования стали основой для появления закона сохранения. Что такое полная механическая энергия? Закон сохранения энергии назван результатом опытов, проведенных французским физиком Сади Карно. Он пытался экспериментальным путем определить зависимость между работой, совершенной над системой, и выделяющимся количеством теплоты.
Именно Карно удалось установить зависимость между теплом и работой, то есть сформулировать первое начало термодинамики на основе закона сохранения. Джеймс Прескотт Джоуль провел серию классических опытов, направленных на количественное определение теплоты, выделяющейся при вращении в электромагнитном поле соленоида с металлическим сердечником.
Ему удалось установить, что количество теплоты, выделяемой в экспериментах, прямо пропорционально значению тока, взятому в квадрате. В последующих экспериментах Джоуль поменял катушку на груз, падающий с некоторой высоты. Ученому удалось установить зависимость между величиной выделяемого тепла и математическим показателем энергии груза.
Роберт Майер предложил интересную гипотезу универсального применения закона сохранения энергии. Занимаясь изучением функционирования систем человека, немецкий врач решил проанализировать то количество теплоты, которое организм выделяет по мере переработки пищи. Его интересовала величина работы, совершаемой в этом случае. Майеру удалось установить связь между теплом, работой, подтверждающую возможность использования закона сохранения энергии для процессов, происходящих внутри организма человека.
Герман Гельмгольц дал первую характеристику потенциальной энергии, основываясь на исследованиях Джоуля и Майера. Он в своих рассуждениях базировался на связи кинетической (живой) энергии с силами напряжения (потенциальной энергии).
Заключение
Закон, поясняющий неизменность суммарного показателя нескольких видов энергии, присущих для рассматриваемой системы, сохраняет свою актуальность и в настоящее время. Открытие закона способствовало развитию физических наук, стало отправной точкой для инновационных процессов, рассматриваемых в науке и технике. Именно изучение закона сохранения механической энергии, лабораторная практика стали детальным обоснованием единства живой природы.
Он указывает на закономерность перехода одной формы в другую, раскрывает глубину внутренних связей между формами материи. Любое явление, происходящее в живой и неживой природе, легко можно объяснить с помощью данного закона. В школьной программе уделяется особое внимание выводу математической записи связи между разными видами движения, рассматриваются основы термодинамической системы. На едином государственном экзамене по физике предлагаются задачи, предполагающие использование данного соотношения.
Процессы, которые происходят в Солнечной системе, связанные с изменением положения тел за определенный промежуток времени, могут быть объяснены с точки зрения основных физических правил. Переход из кинетической в потенциальную форму актуален при изучении механического движения тел. Зная, что суммарный показатель будет постоянным, можно проводить математические вычисления.
Гл.2-3, §9-11
План лекции
Работа и мощность
Закон сохранения импульса.
Энергия. Потенциальная и кинетическая энергии. Закон сохранения энергии.
Работа и мощность
Когда под действием некоторой силы тело совершает перемещение, то действие силы характеризуется величиной, которая называется механической работой.
Механическая работа - мера действия силы, в результате которого тела совершают перемещение.
Работа
постоянной силы.
Если тело движется прямолинейно под
действием постоянной силы
,
составляющей некоторый угол
с направлением перемещения
(рис.1), работа равна произведению этой
силы на перемещение точки приложения
силы и на косинус угла
между векторами
и
;
или работа равна скалярному произведению
вектора силы на вектор перемещения:
Работа переменной силы. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивают на большое число малых участков так, чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую в любой точке данного участка силу - постоянной.
Элементарная работа (т.е. работа на элементарном участке ) равна , а вся работа переменной силы на всем пути S находится интегрированием: .
В качестве примера работы переменной силы рассмотрим работу, совершаемую при деформации (растяжении) пружины, подчиняющейся закону Гука.
Если начальная деформация x 1 =0, то .
При сжатии пружины совершается такая же работа.
Г
рафическое
изображение работы (рис.3).
На графиках работа численно равна площади заштрихованных фигур.
Для характеристики быстроты совершения работы вводят понятие мощности.
Мощность постоянной силы численно равна работе, совершаемой этой силой за единицу времени.
1 Вт- это мощность силы, которая за 1 с совершает 1 Дж работы.
В случае переменной мощности (за малые одинаковые промежутки времени совершается различная работа) вводится понятие мгновенной мощности:
где
скорость
точки приложения силы.
Т.о. мощность равна
скалярному произведению силы
на
скорость
точки её приложения.
Т.к.
2. Закон сохранения импульса.
Механической системой называется совокупность тел, выделенная для рассмотрения. Тела, образующие механическую систему, могут взаимодействовать, как между собой, так и с телами, не принадлежащими данной системе. В соответствие с этим силы, действующие на тела системы, подразделяют на внутренние и внешние.
Внутренними называются силы, с которыми тела системы взаимодействуют между собой
Внешними называются силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих данной системе.
Замкнутой (или изолированной) называется система тел, на которую не действуют внешние силы.
Для замкнутых систем оказываются неизменными (сохраняются) три физических величины: энергия, импульс и момент импульса. В соответствии с этим имеют место три закона сохранения: энергии, импульса, момента импульса.
Рассмотрим
систему, состоящую из 3-х тел, импульсы
которых
и на которые действуют внешние силы
(рис. 4).Согласно 3 закону Ньютона,
внутренние силы попарно равны и
противоположно направлены:
Внутренние силы:
Запишем основное уравнение динамики для каждого из этих тел и сложим почленно эти уравнения
Для N тел:
.
Сумма импульсов тел, составляющих механическую систему, называется импульсом системы:
Т.о., производная по времени импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему,
Для замкнутой
системы
.
Закон сохранения импульса : импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным.
Из этого закона следует неизбежность отдачи при стрельбе из любого орудия. Пуля или снаряд в момент выстрела получают импульс, направленный в одну сторону, а винтовка или орудие получают импульс, направленный противоположно. Для уменьшения этого эффекта применяют специальные противооткатные устройства, в которых кинетическая энергия орудия превращается в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию противооткатного устройства.
Закон сохранения импульса лежит в основе движения судов (подводных лодок) при помощи гребных колес и винтов, и водометных судовых двигателей (насос всасывает забортную воду и отбрасывает ее за корму). При этом некоторое количество воды отбрасывается назад, унося с собой определенный импульс, а судно приобретает такой же импульс, направленный вперед. Этот же закон лежит в основе реактивного движения.
Абсолютно неупругий удар - столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. При таком ударе механическая энергия частично или полностью переходит во внутреннюю энергию соударяющихся тел, т.е. закон сохранения энергии не выполняется, выполняется только закон сохранения импульса.
,
Теория абсолютно упругих и абсолютно неупругих ударов используется в теоретической механике для расчета напряжений и деформаций, вызванных в телах ударными силами. При решении многих задач удара часто опираются на результаты разнообразных стендовых испытаний, анализируя и обобщая их. Теория удара широко используется при расчетах взрывных процессов; применяется в физике элементарных частиц при расчетах столкновений ядер, при захвате частиц ядрами и в других процессах.
Большой вклад в теорию удара внёс российский академик Я.Б.Зельдович, который, разрабатывая в 30-х годах физические основы баллистики ракет, решил сложную задачу удара тела, летевшего с большой скоростью по поверхности среды.
Если тело некоторой массы m двигалось под действием приложенных сил, и его скорость изменилась от до то силы совершили определенную работу A .
Работа всех приложенных сил равна работе равнодействующей силы
Между изменением скорости тела и работой, совершенной приложенными к телу силами, существует связь. Эту связь проще всего установить, рассматривая движение тела вдоль прямой линии под действием постоянной силы В этом случае векторы силы перемещения скорости и ускорения направлены вдоль одной прямой, и тело совершает прямолинейное равноускоренное движение. Направив координатную ось вдоль прямой движения, можно рассматривать F
, s
, υ и a
как алгебраические величины (положительные или отрицательные в зависимости от направления соответствующего вектора). Тогда работу силы можно записать как A
= Fs
. При равноускоренном движении перемещение s
выражается формулой
Это выражение показывает, что работа, совершенная силой (или равнодействующей всех сил), связана с изменением квадрата скорости (а не самой скорости).
Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией
тела:
Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии . Теорема о кинетической энергии справедлива и в общем случае, когда тело движется под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения.
Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия тела массой m
, движущегося со скоростью равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость:
В физике наряду с кинетической энергией или энергией движения важную роль играет понятие потенциальной энергии или энергии взаимодействия тел .
Потенциальная энергия определяется взаимным положением тел (например, положением тела относительно поверхности Земли). Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения и определяется только начальным и конечным положениями тела . Такие силы называются консервативными .
Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю . Это утверждение поясняет рисунок ниже
Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила упругости. Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии.
Если тело перемещается вблизи поверхности Земли, то на него действует постоянная по величине и направлению сила тяжести Работа этой силы зависит только от вертикального перемещения тела. На любом участке пути работу силы тяжести можно записать в проекциях вектора перемещения на ось OY
, направленную вертикально вверх:
Эта работа равна изменению некоторой физической величины mgh
, взятому с противоположным знаком. Эту физическую величину называют потенциальной энергией
тела в поле силы тяжести
|
Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень.
Если рассматривать движение тел в поле тяготения Земли на значительных расстояниях от нее, то при определении потенциальной энергии необходимо принимать во внимание зависимость силы тяготения от расстояния до центра Земли (закон всемирного тяготени). Для сил всемирного тяготения потенциальную энергию удобно отсчитывать от бесконечно удаленной точки, т. е. полагать потенциальную энергию тела в бесконечно удаленной точке равной нулю. Формула, выражающая потенциальную энергию тела массой m
на расстоянии r
от центра Земли, имеет вид:
где M – масса Земли, G – гравитационная постоянная.
Понятие потенциальной энергии можно ввести и для силы упругости. Эта сила также обладает свойством консервативности. Растягивая (или сжимая) пружину, мы можем делать это различными способами.
Можно просто удлинить пружину на величину x
, или сначала удлинить ее на 2x
, а затем уменьшить удлинение до значения x
и т. д. Во всех этих случаях сила упругости совершает одну и ту же работу, которая зависит только от удлинения пружины x
в конечном состоянии, если первоначально пружина была недеформирована. Эта работа равна работе внешней силы A
, взятой с противоположным знаком:
Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией.
Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее удлинение было равно x
1 , тогда при переходе в новое состояние с удлинением x
2 сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:
|
Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой посредством сил упругости.
Свойством консервативности наряду с силой тяжести и силой упругости обладают некоторые другие виды сил, например, сила электростатического взаимодействия между заряженными телами. Сила трения не обладает этим свойством. Работа силы трения зависит от пройденного пути. Понятие потенциальной энергии для силы трения вводить нельзя.
|
Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной.
Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических процессах . Он является следствием законов Ньютона. Сумму E = E k + E p называют полной механической энергией . Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие потенциальной энергии.
Пример применения закона сохранения энергии – нахождение минимальной прочности легкой нерастяжимой нити, удерживающей тело массой m при его вращении в вертикальной плоскости (задача Х. Гюйгенса). Рис. 1.20.1 поясняет решение этой задачи.
Закон сохранения энергии для тела в верхней и нижней точках траектории записывается в виде:
Из этих соотношений следует:
Прочность нити должна, очевидно, превышать это значение.
Очень важно отметить, что закон сохранения механической энергии позволил получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных точках траектории без анализа закона движения тела во всех промежуточных точках. Применение закона сохранения механической энергии может в значительной степени упростить решение многих задач.
В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с силами тяготения, силами упругости и другими консервативными силами действуют силы трения или силы сопротивления среды.
Сила трения не является консервативной. Работа силы трения зависит от длины пути.
Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то механическая энергия не сохраняется . Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание).
При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает. Она лишь превращается из одной формы в другую.
Этот экспериментально установленный факт выражает фундаментальный закон природы – закон сохранения и превращения энергии .
Одним из следствий закона сохранения и превращения энергии является утверждение о невозможности создания «вечного двигателя» (perpetuum mobile) – машины, которая могла бы неопределенно долго совершать работу, не расходуя при этом энергии
Потенциальная энергия - это, скорее, абстрактная величина, ведь любой предмет, который имеет некоторую высоту над поверхностью Земли, уже будет обладать определенным количеством потенциальной энергии. Она рассчитывается путем умножения скорости свободного падения на высоту над Землей, а также на массу. Если же тело двигается, можно говорить о наличии кинетической энергии.
Формула и описание закона
Результат сложения кинетической и потенциальной энергии в закрытой от внешнего воздействия системе, части которой взаимодействуют благодаря силам упругости и тяготения, не изменяется - так звучит закон сохранения энергии в классической механике. Формула данного закона выглядит так: Ек1+Еп1=Ек2+Еп2. Здесь Ек1 является кинетической энергией определенного физического тела в конкретный момент времени, а Еп1 - потенциальной. То же самое верно и для Ек2 и Еп2, но уже в следующий временной промежуток. Но этот закон верен только в том случае, если система, в которой он действует, является замкнутой (или консервативной). Это говорит о том, что значение полной механической энергии не изменяется, когда на систему действуют лишь консервативные силы. Когда в действие вступают неконсервативные силы, часть энергии изменяется, принимая другие формы. Такие системы получили название диссипативных. Закон сохранения энергии работает, когда силы извне никак не действуют на тело.
Пример проявления закона
Одним из типичных примеров, иллюстрирующих описанный закон, служит проведение опыта с шариком из стали, который падает на плиту из этого же вещества или на стеклянную, отскакивая от нее примерно на ту же высоту, где он находился до момента падения. Данный эффект достигается за счет того, что когда предмет движется, энергия преобразуется несколько раз. Первоначально значение потенциальной энергии начинает стремиться к нулю, в то время как кинетическая увеличивается, но после столкновения она становится потенциальной энергией упругой деформации шара.
Это продолжается до момента полной остановки предмета, в который он начинает свое движение вверх за счет сил упругой деформации как плиты, так и упавшего предмета. Но при этом в дело вступает потенциальная энергия тяготения. Так как шарик при этом понимается примерно на ту же высоту, с которой он и упал, кинетическая энергия в нем одна и та же. Кроме этого, сумма всех энергий, действующих на движущийся предмет, остается одинаковой во время всего описанного процесса, подтверждая закон сохранения полной механической энергии.
Упругая деформация - что это?
Для того чтобы полностью понять приведенный пример, стоит более подробно разобраться с тем, что такое потенциальная энергия упругого тела - это понятие означает обладание упругостью, позволяющей при деформации всех частей данной системы вернуться в состояние покоя, совершая некоторую работу над телами, с которыми соприкасается физический объект. На работу сил упругости не влияет форма траектории движения, так как работа, совершаемая за счет них, зависит лишь от положения тела в начале и в конце движения.
Когда действуют внешние силы
Но закон сохранения не распространяется на реальные процессы, в которых участвует сила трения. В пример можно привести падающий на землю предмет. Во время столкновения кинетическая энергия и сила сопротивления возрастают. Этот процесс не вписывается в рамки механики, так как из-за возрастающего сопротивления повышается температура тела. Из вышесказанного следует вывод о том, что закон сохранения энергии в механике имеет серьезные ограничения.
Термодинамика
Первый закон термодинамики гласит: разность между количеством теплоты, накапливаемой благодаря работе, совершаемой над внешними объектами, равна изменению внутренней энергии данной неконсервативной термодинамической системы.
Но это утверждение чаще всего формулируется в другом виде: количество теплоты, полученное термодинамической системой, тратится на работу, совершаемую над объектами, находящимися вне системы, а также на изменение количества энергии внутри системы. Согласно данному закону, она не может исчезнуть, превращаясь из одной формы в другую. Из этого следует вывод о том, что создание машины, не потребляющей энергии (так называемого вечного двигателя), невозможно, так как система будет нуждаться в энергии извне. Но многие все же настойчиво пытались создать ее, не учитывая закон сохранения энергии.
Пример проявления закона сохранения в термодинамике
Опыты показывают, что термодинамические процессы невозможно обратить вспять. Примером тому может служить соприкосновение тел, имеющих различную температуру, при котором более нагретое будет отдавать тепло, а второе - принимать его. Обратный же процесс невозможен в принципе. Другим примером является переход газа из одной части сосуда в другую после открытия между ними перегородки, при условии что вторая часть пуста. Вещество в данном случае никогда не начнет движение в обратном направлении самопроизвольно. Из вышесказанного следует, что любая термодинамическая система стремится к состоянию покоя, при котором ее отдельные части находятся в равновесии и имеют одинаковую температуру и давление.
Гидродинамика
Применение закона сохранения в гидродинамических процессах выражается в принципе, описанном Бернулли. Он звучит так: сумма давления как кинестетической, так и потенциальной энергии на единицу объема одна и та же в любой отдельно взятой точке потока жидкости или газа. Это значит, что для измерения скорости потока достаточно измерить давление в двух точках. Делается это, как правило, манометром. Но закон Бернулли справедлив только в том случае, если рассматриваемая жидкость имеет вязкость, которая равна нулю. Для того чтобы описать течение реальных жидкостей, используется интеграл Бернулли, предполагающий добавление слагаемых, которые учитывают сопротивление.
Электродинамика
Во время электризации двух тел количество электронов в них остается неизменным, из-за чего положительный заряд одного тела равен по модулю отрицательному заряду другого. Таким образом, закон сохранения электрического заряда говорит о том, что в электрически изолированной системе сумма зарядов ее тел не изменяется. Это утверждение верно и тогда, когда заряженные частицы испытывают превращения. Таким образом, когда сталкиваются 2 нейтрально заряженные частицы, сумма их зарядов все равно остается равной нулю, так как вместе с отрицательно заряженной частицей появляется и положительно заряженная.
Заключение
Закон сохранения механической энергии, импульса и момента - фундаментальные физические законы, связанные с однородностью времени и его изотропностью. Они не ограничены рамками механики и применимы как к процессам, происходящим в космическом пространстве, так и к квантовым явлениям. Законы сохранения позволяют получать данные о различных механических процессах без их изучения при помощи уравнений движения. Если какой-то процесс в теории игнорирует данные принципы, то проводить опыты в таком случае бессмысленно, так как они будут нерезультативными.